题目内容
【题目】在极坐标系中,曲线
的极坐标方程是
，点
是曲线上的动点.点
满足
(
为极点).设点的轨迹为曲线
.以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系
，已知直线
的参数方程是
，(
为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）设直线交两坐标轴于
，
两点，求
面积的最大值.
【答案】(1)
的直角坐标方程为
，
的普通方程是
；(2)
.
【解析】试题分析：
（1）在极坐标系中，设点
.由题意可得曲线的极方程为
，化为直角坐标方程得，消去参数可得直线的普通方程是
.
（2）由直线的方程可得
.设
，底边
上的高，
，结合三角函数的性质可得
，则
面积的最大值为.
试题解析：
（1）在极坐标系中，设点.
由
，得
，
代入曲线
的方程
并整理，
得，
再化为直角坐标方程，得，
即曲线的直角坐标方程为.
直线的参数方程
(
为参数)化为普通方程是.
（2）由直线的方程为，可知.
因为点
在曲线
上，
所以设，
，
则点到直线的距离
即为底边上的高，
所以
，其中
，
所以，
所以
，
所以面积的最大值为.
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【题目】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在
市的普及情况， 
市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
经常使用网络外卖 | 偶尔或不用网络外卖 | 合计 | |
男性 | 50 | 50 | 100 |
女性 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 110 | 90 | 200 |
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为
市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从
市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为
，求
的数学期望和方差.
参考公式： 
，其中
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
