Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．

⑴求曲线的方程；

⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）的方程为 ；（2），，，所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值，此时．

试题解析：

（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，

设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，

所以圆的半径为，

则直线的方程为，即，

所以，又，

所以，即，

所以的方程为

（2）设， ，，

由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，

由，，

所以，，

则，

所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值

此时．