Question

已知函数y=f（x）满足以下条件：①定义在正实数集上；②f（

1

2

）=2；③对任意实数t，都有f（x^t）=t•f（x）（x∈R⁺）．
（1）求f（1），f（

1

4

）的值；
（2）求证：对于任意x，y∈R⁺，都有f（x•y）=f（x）+f（y）；
（3）若不等式f（log_a（x-3a）-1）-f（-loga2

x-a

）≥-4对x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令t=0，即可得到f（1），再令x=

1

2

，t=2，即可得到；
（2）设0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=a^m，y=aⁿ，代入计算即可得证；
（3）运用对数函数的单调性，证得f（x）在x＞0上递减．由条件结合对数的真数大于0，解得，a＞

3

4

；由log_a（x-3a）+log_a（x-a）≤1，等价为log_a（x²-4ax+3a²）≤1．令g（x）=log_a（x²-4ax+3a²），根据g（x）的单调性，即可得到a的范围．

解答： （1）解：令t=0，则f（x⁰）=0•f（x）=0，即f（1）=0；
由f（

1

2

）=2，则f（

1

4

）=2f（

1

2

）=4；
（2）证明：设0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=a^m，y=aⁿ，
f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a），
f（x）+f（y）=f（a^m）+f（aⁿ）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．
则有f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）解：先证f（x）在x＞0上递减．
由于f（x）=f（(

1

2

)log

1

2

x）=log

1

2

x•f（

1

2

）=2log

1

2

x，则f（x）在x＞0上递减．
再求a的取值范围，a＞0，a≠1，
又不等式f（log_a（x-3a）-1）-f（-loga2

x-a

）≥-4对x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，
则x-3a＞0，x-a＞0，对x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，a+2-3a＞0，且a+2-a＞0，
则0＜a＜1，在x＞0上，log_a（x-3a）-1＞0，即x-3a＜a，对x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，
则有a+

9

4

＜4a，解得，a＞

3

4

；
-log_a

x-a

＞0，即x-a＞1，对x∈[a+2，a+

9

4

]恒成立，a+2-a＞1恒成立．
由（2）中令x=

1

4

，y=4，则f（1）=f（

1

4

）+f（4），f（4）=-4，
f（log_a（x-3a）-1）≥f（4）+f（-

1

4

log_a（x-a））=f（-log_a（x-a）），
由于f（x）在x＞0上递减，则log_a（x-3a）+log_a（x-a）≤1，等价为loga（x²-4ax+3a²）≤1．
由0＜a＜1，则x=2a在[a+2，a+

9

4

]的左侧，
令g（x）=log_a（x²-4ax+3a²），g（x）在[a+2，a+

9

4

]递减，
g（x）_max=g（a+2）≤1，即log_a（4-4a）≤1，即4-4a≥a，
解得，a≤

4

5

．
综上，可得，

3

4

＜a≤

4

5

．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查赋值法求函数值，以及换元法的运用，考查函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立思想转化为求最值，属于中档题和易错题．