题目内容
设△ABC中，AD为内角A的平分线，交BC边于点D，|
|=3，|
|=2，∠BAC=60°，则
•
= ．
| AB |
| AC |
| AD |
| BC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：首先利用三角形的角平分线的性质得到BD：BC=3：5，再由余弦定理求出BC的长度，结合菱形的性质以及三角形相似求出DH，再由余弦定理求AD的长度，然后将
表示为
-
，然后进行向量是数量积运算．
| BC |
| AC |
| AB |
解答：
解：△ABC中，作DG‖AB，DH‖AC，则四边形AHDG为平行四边形．
如图，
∵AD为内角A的平分线，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，
由三角形内角平分线的性质可得
=
=
，
∴
=
．
△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=9+4-2×3×2×
=7，
再根据∠BHD=∠BAD+∠ADH，∴∠ADH=30°，
∴AH=HD，∴AHDG为菱形．
由△BDH∽△BCA，
=
=
，
∴DH=
=AH．
再根据∠AHD=120°，△ABD中，由余弦定理可得AD2=AH2+HD2-2AH•HD•cos∠AHD
=（
）2+（
）2-2×
×
×（-
）=3×（
）2，
∴AD=
．
∴
•
=
•(
-
)=
•
-
•
=
×2×
-
×3×
=-
；
故答案为：-
．
如图，
∵AD为内角A的平分线，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，由三角形内角平分线的性质可得
| BD |
| DC |
| AB |
| AC |
| 3 |
| 2 |
∴
| BD |
| BC |
| 3 |
| 5 |
△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=9+4-2×3×2×
| 1 |
| 2 |
再根据∠BHD=∠BAD+∠ADH，∴∠ADH=30°，
∴AH=HD，∴AHDG为菱形．
由△BDH∽△BCA，
| DH |
| AC |
| BD |
| AC |
| 3 |
| 5 |
∴DH=
| 6 |
| 5 |
再根据∠AHD=120°，△ABD中，由余弦定理可得AD2=AH2+HD2-2AH•HD•cos∠AHD
=（
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
∴AD=
| 6 |
| 5 |
| 3 |
∴
| AD |
| BC |
| AD |
| AC |
| AB |
| AD |
| AC |
| AD |
| AB |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 9 |
| 5 |
故答案为：-
| 9 |
| 5 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在三棱锥O-ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直．OA=2，OB=
如图所示，四棱锥P-ABCD的顶点B、D、P分别在空间直角坐标系的坐标轴上，顶点A与原点重合；底面ABCD中，AB⊥BC，且BC=PA=3，AD=y；三棱锥P-ABC的体积为5．函数f（x）=lgx-
的零点所在的区间为（ ）
| 1 |
| x |
| A、（1，2） |
| B、（2，3） |
| C、（3，4） |
| D、（4，5） |
已知x=a1是函数f（x）=
x4+bx2+cx+d的唯一极值点且为最小值点，若存在a2∈（a1，a1+1）使得f′（a2）=0，则关于x的函数g（x）=f（x）-
x2+a1x在（a1，a2）上的零点的说法正确的是（ ）
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| A、至多只有一个零点 |
| B、只有唯一的零点 |
| C、可能存在两个零点 |
| D、可能存在四个零点 |
已知平面向量
与
的夹角为
，且|
|=1，|
+2
|=2
，则|
|=（ ）
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| A、1 | ||
B、
| ||
| C、3 | ||
| D、2 |