Question

5．（1）求一个焦点为（13，0），且离心率为$\frac{13}{5}$的双曲线的标准方程；
（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点 M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知双曲线的焦点在x轴上，再由已知求得c、a的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意设抛物线方程为y²=-2px（p＞0），再由抛物线焦半径公式求得p，得到抛物线方程，把M的坐标代入抛物线方程求得m值．

解答 解：（1）依题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c=13，
又$\frac{c}{a}=\frac{13}{5}$，∴a=5，$b=\sqrt{{c^2}-{a^2}}=12$，
故其标准方程为$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$；
（2）设抛物线方程为y²=-2px（p＞0），则焦点F（$-\frac{p}{2}$，0），准线方程为$x=\frac{p}{2}$，
根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则$3+\frac{p}{2}=5$，∴p=4，
因此，抛物线方程为y²=-8x，
又点 M（-3，m）在抛物线上，于是m²=24，∴$m=±2\sqrt{6}$．

点评 本题考查双曲线及抛物线标准方程的求法，考查利用抛物线定义求标准方程，体现了数学转化思想方法，是基础题．