Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，$\sqrt{2}$c=$\sqrt{3}$b．
（1）求角A，B的大小；
（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为$\sqrt{3}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由C=60°，可得sinC，由$\sqrt{2}$c=$\sqrt{3}$b，可得：$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，又由正弦定理可得：$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，解得sinB，结合b＜c，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值．
（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵C=60°，可得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$\sqrt{2}$c=$\sqrt{3}$b，可得：$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，
又∵由正弦定理$\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}$，可得：$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，解得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵由已知可得b＜c，可得B为锐角，
∴可得：B=45°，A=π-B-C=75°．
（2）∵△BCD的面积为$\sqrt{3}$，即：$\frac{1}{2}$a•CD•sinC=$\frac{1}{2}×4×CD×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，解得：CD=1，
∴由余弦定理可得：BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}-2BC•CD•cosC}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}-2×4×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，考查了数形结合思想的应用和计算能力，属于中档题．