Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c 的图象相切，
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故，
由于，得，
∵b＞-1，c＞0，
∴。
（Ⅱ），
，
令F′（x）=0，即，
则，
若△=0，则F′（x）=0有一个实根x，且F′（x）的变化如下：

于是不是函数F（x）的极值点；
若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根，且F′（x）的变化如下：

由此，是函数F（x）的极大值点，是函数F（x）的极小值点，
综上所述，当且仅当△=0时，函数F（x）在（-∞，+∞）内有极值点，
由得，
∵，
∴，解之得，
故所求c的取值范围是。