Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（1）设b=φ（c），求φ（c）；
（2）设D（x）=

g(x)

f(x)

（其中x＞-b）在[-1，+∞）上是增函数，求c的最小值；
（3）是否存在常数c，使得函数H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切，联立方程得到一个一元二次方程，方程只有一个根，△=0，推出φ（c）；
（2）把g（x）和f（x）代入D（x），然后对D（x）进行求导，证明D（x）在[-1，+∞）上是增函数，可以等价为1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，求出c的最小值；
（3）对H（x）进行化简可得H（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，对其进行求导，要使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，只需要满足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，求出c的范围；

解答：解：（1）∵函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切，
∴方程x+b=x²+bx+c只有一个根，即x²+（b-1）x+c-b=0，
∴△=（b-1）²-4×（c-b），
∴（b+1）²=4c，b＞-1，c＞0，
∴b+1＞0，∴b=2

c

-1，
∴b=φ（c）=2

c

-1；
（2）依题意设D（x）=

x2+bx+c

x+b

=x+

c

x+b

，
∴D′（x）=1-

c

(x+b)2

=（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）
∵D（x）在[-1，+∞）上是增函数，
∴（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）≥0在[-1，+∞）上恒成立，
又x＞-b，c＞0，
∴上式等价于1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，
即

c

≤x+b，而由（Ⅰ）可知

c

≤x+2

c

-1，
∴

c

≥1-x，
又函数1-x在[-1，+∞）上的最大值为2，
∴

c

≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．
（3）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc
可得H′（x）=3x²+4bx+（b²+c）
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依题意设欲使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，
则需满足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，
亦即c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，
又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，
故存在常数c∈（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞），使得函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，此题是一道中档题；