Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）注意把握题目中的信息，f（x）和g（x）在同一点处具有相同的切线斜率．即f′（x₀）=g′（x₀）
（2）由构造的新函数F（x）在R上有极值点，得到二次函数F′（x）有两个零点，再将上题的结论代入可解．

解答：解：（Ⅰ）依题意，令f'（x）=g'（x），得2x+b=1，
故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得（b+1）²=4c．
∵b＞-1，c＞0，∴b=-1+2

c

．
（Ⅱ）F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc．
F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F'（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0．
则△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c）．
若△=0，则F'（x）=0有一个实根x₀，且F'（x）的变化如下：

于是x=x₀不是函数F（x）的极值点．若△＞0，
则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的变化如下：

由此，x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．
综上所述，当且仅当△=0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点．
由△=4(b2-3c)＞0得b＜-

3c

或b＞

3c

．
∵b=-1+2

c

，∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

．
解之得0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

．
故所求c的取值范围是（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）．

点评：本题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力．其中三次多项式函数也是高考中对导数考查的常见载体．