Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x），
（ⅰ）当c=4时，在函数F（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使得F（x）在点M的切线斜率为

b

3

，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）若函数F（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，令f′(x)=g′(x)，得x=

1-b

2

，因为f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，进而得到b与c的关系式．
（Ⅱ）（ⅰ）当c=4时，则b=3，得F′（x）=3x²+12x+13，若存在满足条件的点M，则F′（x）=1，进而得到答案．
（ⅱ）令F′（x）=0，得△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，根据列表可得x=x₀不是函数F（x）的极值点．若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），根据列表可得x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．进而解出答案．

解答：解：（Ⅰ）依题意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得(b+1)2=4c．
∵b＞-1，c＞0，
∴b=-1+2

c

．
（Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
（ⅰ）当c=4时，则b=3，
所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，
若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x²+12x+13=1，
解得：x=-2，y=2，
所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）．
（ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），
若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x₀，此时F′（x）的变化如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
F′（x）	+	0	+

于是x=x₀不是函数F（x）的极值点．
若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的变化如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+

由此，x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．
综上所述，当且仅当△＞0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点.

由△=4(b2-3c)＞0得b＜- 3c 或b＞ 3c

．∵b=-1+2

c

，
∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

.

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义，并且熟练掌握利用导数解决极值与单调性问题．