Question

用三块等宽的长方形木板,做成一个断面为梯形的水槽(如下图).问斜角φ为多大时,水槽的截面积最大?并求出最大截面积.

Answer 1

思路分析：借助图形的特征,合理选择条件间的联系方式,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其他方法求出函数的最大值.

解：设木板的宽为a,水槽的高为h,截面积为S,

则S=(a+a+2acosφ)h=

(2a+2acosφ)·asinφ,

即S=a²(1+cosφ)sinφ(0＜φ＜).

S′=a²［-sin²φ+(1+cosφ)cosφ］=a²［-(1-cos²φ)+cosφ+cos²φ］

=a²(2cosφ-1)(cosφ+1).

令S′=0,得cosφ=,cosφ=-1(不合题意,舍去).

故在(0,)内,只取φ=.

所以φ=时,水槽的截面积最大,它的值为

S=a²(1+cos)sin=a².

答：φ为时,截面积最大,最大截面积为a².

    方法归纳 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.