Question

用三块等宽的长方形木板做成一个断面为梯形的水槽(如图所示)，问倾斜角φ为多大时，水槽的截面积最大？并求出最大截面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：设木板的宽为a，水槽的高为h，截面积为S，则 　　S＝(a＋a＋2acosφ)·h＝(2a＋2acosφ)·asinφ， 　　即S＝a2(1＋cosφ)sinφ(0＜φ＜)， 　　＝a2[－sin2φ＋(1＋cosφ)cosφ] 　　＝a2[－(1－cos2φ)＋cosφ＋cos2φ] 　　＝a2(2cosφ－1)(cosφ＋1)． 　　令＝0，得cosφ＝或cosφ＝－1(不合题意，舍去)，所以在(0，)内，只取φ＝． 　　故φ＝时，水槽的截面积最大，它的值为S＝a2(1＋cos)sin＝． 　　思路分析：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．

提示：

根据题意得出方程后依然要运用导数公式正确解答．此题主要考查导数在实际生活中的应用．有助于提高对数学的应用能力．