Question

已知函数g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞）．
（1）若g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上的增函数，求实数b的值；
（2）若（1）的条件下，若g（x）的最小值是1，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得g（x）=x+a+

b

x

，g（x）在x=1时取得最小值，由此利用基本不等能求出实数b的值为1．
（2）由（1）知g（x）的最小值为a+2当g（x）的最小值为1时，a+2=1，由此能求出g（x）=

x2-x+1

x

．

解答： 解：（1）∵g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），
∴g（x）=x+a+

b

x

，
∵g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）在x=1时取得最小值，
∵g（x）=（x+

b

x

）+a≥2

x• b x

+a=2

b

+a，
∴当x=

b

x

=1时取得最小值，所以有b=1，
实数b的值为1．
（2）由（1）知g（x）的最小值为a+2
∴当g（x）的最小值为1时，
a+2=1，解得a=-1，
所以g（x）=

x2-x+1

x

．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的解析式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和均值不等式的合理运用．