Question

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（　　）

• A． 36π
• B． 48π
• C． 56π
• D． 64π

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．

解答 解：根据三视图知几何体是：
三棱锥D-ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：
∵该多面体的所有顶点都在球O，且球心O是正方体的中心，
∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，
由正方体的性质可得，
AB=BD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，AC=$4\sqrt{2}$，
设△ABC的外接圆的半径为r，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2•AC•BC}$=$\frac{32+4-20}{2×4\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦定理可得，2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{10}$，则r=$\sqrt{10}$，
即球O的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴球O的表面积S=4πR²=56π，
故选：C．

点评 本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．