Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；
（2）若f(

α

2

+

π

8

)=-

1

3

，求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1，可求最小正周期T=

2π

2

=π，最大值M=

2

+1；
（2）依题意得

2

sin[2(

α

2

+

π

8

)-

π

4

]+1=-

1

3

，即

2

sinα+1=-

1

3

，从而可求sinα=-

2 2

3

，cosα=±

1-sin2α

=±

1

3

．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin2x+1-cos2x…（2分），
=

2

sin(2x-

π

4

)+1…（4分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π…（5分），最大值M=

2

+1…（6分）
（2）依题意，

2

sin[2(

α

2

+

π

8

)-

π

4

]+1=-

1

3

…（7分）
即

2

sinα+1=-

1

3

…（8分），
∴sinα=-

2 2

3

…（10分）
∴cosα=±

1-sin2α

=±

1

3

…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．