Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）设，若对一切n∈N^*，均有，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1时，S₁=2，n=2时，S₂=6，由，知，由此能求出S_n．
（2）由S_n=n（n+1），知a_n=S_n-S_n-1=2n，a₁=2，a_n=2n，n∈N⁺，所以．由，知数列{b_n}是等比数列，由  b₁+b₂+…+b_n=和随n的增大而增大，知 b₁+b₂+…+b_n，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）依题意，n=1时，S₁=2，n=2时，S₂=6，
∵，①
n≥2时，，
∴S_n=n（n+1）（n∈N⁺），
（2）由（1）知S_n=n（n+1），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∵a₁=2，∴a_n=2n，n∈N⁺，
∴．
∵，∴数列{b_n}是等比数列，
则  b₁+b₂+…+b_n=．
∵随n的增大而增大，
∴ b₁+b₂+…+b_n，
依条件，得，
即，∴m＜0或m≥5．
点评：本题考查数列前n项和的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．