Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n+

3

2

×（-1）ⁿ-

1

2

，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n和a_n-1的关系式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

10

9

，n∈N^*．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n+

3

2

×（-1）ⁿ-

1

2

，n=1，2，3，…，再写一式，两式相减整理可得a_n=2a_n-1+3×（-1）^n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）令b_n=（-1）ⁿa_n得b_n=-2b_n-1-3，构造新数列b_n+1是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由Sn=2n -

(-1)n+1

2

，∴S_2k-1=2^2k-1，S_2k=2^2k-1，再进行分组求和，利用等比数列的求和公式可证．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n+

3

2

×（-1）ⁿ-

1

2

，n=1，2，3，…，①
得S_n-1=2a_n-1+

3

2

×（-1）^n-1-

1

2

，n=2，3，…，②…（1分）
将①和②相减得：an=2(an-an-1)+

3

2

[-(-1)n-1-(-1)n-1]，n=2，3，…，…（2分）
整理得：a_n=2a_n-1+3×（-1）^n-1，n=2，3，…．      …（3分）
（Ⅱ）在已知条件中取n=1得，a₁=2a_1-

3

2

-

1

2

，∴a₁═2．…（4分）
∵a_n=2a_n-1+3×（-1）^n-1，∴（-1）ⁿa_n=-2（-1）^n-1a_n-1-3，
∴令b_n=（-1）ⁿa_n得b_n=-2b_n-1-3，n=2，3，…．…（5分）
∴b_n+1+1=-2（b_n+1），n=1，2，3，…，
∵b₁+1=-1≠0，∴b_n+1=（-1）×（-2）^n-1，n=1，2，3，…，
∴a_n=2^n-1+（-1）^n-1．     …（7分）
（Ⅲ）∵Sn=2n -

(-1)n+1

2

，∴S_2k-1=2^2k-1，S_2k=2^2k-1．      …（8分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2n

=(

1

2

+

1

8

+…+

1

22n-1

)+(

1

22-1

+…+

1

22n-1

)＜

10

9

(1-

1

4n

)＜

10

9

．      …（10分）
同理

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2n-1

＜

10

9

，∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

10

9

，n∈N^*．  …（12分）

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，有一定的难度．