Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=3ⁿ+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n（2n-1），求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=

s1   n=1 sn-sn-1，n≥2

及S_n=3ⁿ+1，代入即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的结果代入b_n=a_n（2n-1），采取错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项的和．

解答：解：（1）∵S_n=3ⁿ+1．
∴S_n-1=3^n-1+1
∴a_n=3ⁿ+1-（3^n-1+1）=2•3^n-1．
当n=1时，a₁=S₁=4
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

4   n=1 2•3n-1，n≥2

；
（2）b_n=a_n（2n-1）=

4   n=1 2(2n-1)•3n-1，n≥2

，
∴令数列{b_n}的前n项的和T_n，
则当n=1时，T₁=4，
当n≥2时，T_n=4+2•3•3+2•5•3²+…+2（2n-1）3^n-1，
3T_n=3×4+2•3•3²+2•5•3³+…+2（2n-1）3ⁿ，
∴-2T_n=10+2•2•3+2•2•3²+…+2•23^n-1-2（2n-1）3ⁿ，
=10+4

3(1-3n-1)

1-3

-2（2n-1）3ⁿ
=10+2（3ⁿ-3）-2（2n-1）3ⁿ
T_n=（2-2n）3ⁿ+2，
综上所述T_n=

4   n=1 (2-2n)•3n+2，n≥2

．

点评：此题是个中档题．考查根据a_n=

s1   n=1 sn-sn-1，n≥2

求数列通项公式的方法以及错位相减法求数列的前n项和，体现了分类讨论的思想．以及学生综合运用知识解决问题的能力．