题目内容

设数列an的前n项的和为Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求数列an的通项公式；
（3）设bn=(2log
3
2
an+1)•an，求数列bn的前n项的和Tn．
分析：（1）直接把条件转化为用a2，a3表示的形式即可求a2，a3；
（2）直接利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1找到递推关系，进而求出通项公式；
（3）先利用（2）的结论把数列{bn}的通项公式表示出来，再利用错位相减法对其求前n项的和Tn即可．
解答：解（1）∵a1=
3
2
，Sn=2an+1-3
∴S1=2a2-3
∴a2=
a1+3
2
=
9
4
（1分）
同理S2=2a3-3
∴a3=
a1+a2+3
2
=
27
8
．（2分）
（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+1-3-（2an-3）
即an+1=
3
2
an．（4分）
由（1）显然a2=
3
2
a1（5分）
∴an是以a1=
3
2
为首项
3
2
为公比的等比数列
∴an=(
3
2
)n（6分）
（3）由（2）知bn=(2log
3
2
an+1)•an=[2log
3
2
(
3
2
)n+1]•(
3
2
)n=(2n+1)•(
3
2
)n..（7分）Tn=3•(
3
2
)1+5•(
3
2
)2+7•(
3
2
)3++(2n-1)•(
3
2
)n-1+(2n+1)•(
3
2
)n①

3
2
Tn=3•(
3
2
)2+5•(
3
2
)3+7•(
3
2
)4++(2n-1)•(
3
2
)n+(2n+1)•(
3
2
)n+1②（8分）

①-②得
-
1
2
Tn=
9
2
+2•(
3
2
)2+2•(
3
2
)3++2•(
3
2
)n-1-(2n+1)•(
3
2
)n+1
=
9
2
+2[(
3
2
)2+(
3
2
)3++(
3
2
)n-1]-(2n+1)•(
3
2
)n+1=
9
2
+2×
9
4
[1-(
3
2
)n-1]
1-
3
2
-(2n+1)•(
3
2
)n+1
=(
9
2
-3n)•(
3
2
)n-
9
2
(11分)


∴Tn=(6n-9)•(
3
2
)n+9（12分）
点评：本题主要考查已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式以及数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
练习册系列答案
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设数列an的前n项的和为Sn，a1=1，2Sn=（n+1）an+1-1
（1）求数列an的通项公式；
（3）求证：数列{2
2Sn
n
}是等比数列；
（3）设数列bn是等比数列且b1=2，a1，a3，b2成等比数列，Tm为bn的前m项的和，Pm=(
4Sm
m
-3)•2m-1-1，试比较Tm与Pm的大小，并加以证明．
已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{an}的前n项积为Tn，且，求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求数列{nan}的前n项的和．
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