Question

已知 cos(x-

π

4

)=

2

10

，x∈(

π

2

，π)．
（I）求sinx的值；
（Ⅱ）求sin(2x+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（I）先由已知条件，利用余弦的差角公式展开，得到sinx，cosx的方程，再与sin²x+cos²x=1联立求得sinx值；
（Ⅱ）利用第一问的结论结合正弦的和角展开式以及特殊角的函数值即可得到结论．

解答：解：（I）∵cos(x-

π

4

)=

2

10

，x∈(

π

2

，π)．
∴

2

2

（sinx+cosx）=

2

10

；
⇒sinx+conx=

1

5

⇒cosx=

1

5

-sinx；
代入sin²x+cos²x=1解得sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

．
（Ⅱ）∵sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

．
∴sin2x=2sinxcosx=-

12

25

；
cos2x=2cos²x-1=-

7

25

．
∴sin(2x+

π

3

)=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=-

12

25

×

1

2

+（-

7

25

）×

3

2

(    )

(    )

=-

12+7 3

50

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系，解题的关键是熟练掌握公式且能灵活运用，本题是基本公式考查题，属于基础题．