Question

【题目】已知函数， .

（1）设，求的最小值；

（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ） ，函数定义域为R，求导数， ，分别令， ，根据函数单调性，确定函数的最小值；（Ⅱ）由曲线与仅有一个交点，可设函数，函数的定义域为，于是对函数求导，研究的单调性及导数为0的根，从而确定函数的最值，曲线与在点处有相同的切线，再求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） ，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增，

故时， 取得最小值．

（Ⅱ）设，则，

由（Ⅰ）得在单调递增，又， ，

所以存在使得，

所以当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增，

所以)的最小值为，

由得，所以曲线与在点处有相同的切线，

又，所以，

因为，所以．