Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）给出的一个取值，使得曲线存在斜率为的切线，并说明理由；

（Ⅱ）若存在极小值和极大值，证明： 的极小值大于极大值.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先对原函数求导，只需令方程 有解即可得 的范围，进而可得的一个取值，在验证即可；（Ⅱ）对求导；求方程的所有实数根，列表格判断各个根左右两边符合。进而可得结果．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是且，且.

当时，曲线存在斜率为的切线.证明如下：

曲线存在斜率为的切线方程存在上的解，

令，整理得，

解得，或.

所以，当时，曲线存在斜率为的切线.

注：本题答案不唯一，只要均符合要求.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

①当时， 恒成立，

函数在区间和上单调递增，无极值，不合题意.

②当时，令，整理得.

由，

所以，上述方程必有两个不相等的实数解， ，不妨设.

由得.

， 的变化情况如下表：

所以， 存在极大值，极小值.

.

因为，且.

所以， ，

所以.

所以的极小值大于极大值.