Question

14．已知实数a，b满足$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜b＜2}\end{array}}\right.$，则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区域$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜b＜2}\end{array}}\right.$的面积比值，即是所求的概率．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆，
∴a＞b＞0，且$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{3}{4}$，即a＜2b；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞b＞0}\\{a＜2b}\end{array}\right.$，
它对应的平面区域如图中阴影部分所示：

则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的概率为
P=$\frac{{S}_{△OAD}}{{S}_{矩形OABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1}{2×2}$=$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了几何概型的应用问题，也考查了椭圆离心率的应用问题，是基础题目．