Question

8．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c-x}•\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}$=-1，求出c-x，利用D到直线BC的距离小于a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，A（a，0），B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），由双曲线的对称性知D在x轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AC得-$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c-x}•\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
∴c-x=-$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，
∵D到直线BC的距离小于a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
∴c-x=|-$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$|＜a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
∴$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$＜c²-a²=b²，
∴0＜$\frac{b}{a}$＜1，
∵e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，
∴1＜e＜$\sqrt{2}$
∴双曲线的离心率的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．