Question

14．已知下列命题
①b²=ac，则a，b，c成等比数列；
②若{a_n}为等差数列，且常数c＞0，则数列{c^a_n}为等比数列；
③若{a_n}为等比数列，且常数c＞0，则数列{c^a_n}为等比数列；
④常数列既为等差数列，又是等比数列．
其中，真命题的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 在①中，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列；在②中，$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}+d}}{{c}^{{a}_{n}}}$=cd，数列{c^a_n}为等比数列；在③中，$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}q}}{{c}^{{a}_{n}}}$${c}^{{a}_{n}q-{a}_{n}}$不是常数，数列{c^a_n}不为等比数列；在④中，由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列．

解答 解：在①中，b²=ac，当b=c=0时，a，b，c不成等比数列，故①错误；
②若{a_n}为等差数列，且常数c＞0，则$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}+d}}{{c}^{{a}_{n}}}$=c^d，
∴数列{c^a_n}为等比数列，故②正确；
③若{a_n}为等比数列，且常数c＞0，则$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}q}}{{c}^{{a}_{n}}}$${c}^{{a}_{n}q-{a}_{n}}$不是常数，
∴等比数列的性质得数列{c^a_n}不为等比数列，故③错误；
④由0构成的常数列为等差数列，不是等比数列，故④错误．
故选：A．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．