Question

已知在△ABC中，∠C是直角，两直角边和斜边a、b、c满足条件a+b=cx，试确定x的范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由a+b=cx得x=

a+b

c

，利用正弦定理将式子化为：

sinA+sinB

sinC

，将C=90°及B=90°-A代入后，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域和角A的范围，即可确定出它的范围．

解答： 解：由a+b=cx得，x=

a+b

c

，
由题意得在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

sinA+sin(90°-A)

sin90°

=sinA+cosA=

2

sin(A+45°)，
由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），
所以sin（A+45°）∈（

2

2

，1]，
即

2

sin(A+45°)∈（1，

2

]，所以

a+b

c

∈（1，

2

]，
所以x=

a+b

c

∈（1，

2

]，

点评：本题考查了正弦定理的应用，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理和三角恒等变换的公式是解本题的关键，注意角的范围．