Question

由曲线y=x²和直线x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（　　）

A． 2 3

B． 1 3

C． 1 2

D． 1 4

Answer 1

由题意及图象，曲线y=x²和直线y=t²交点坐标是（t，t²）
故阴影部分的面积是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t¹（-t²+x²）d_x=（t²x-

1

3

x³）|₀^t+（-t²x+

1

3

x³）|_t¹=

4

3

t3-t2+

1

3

令p=

4

3

t3-t2+

1

3

，则p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=

4

3

t3-t2+

1

3

在（0，1）先减后增，在t=

1

2

时取到最小值，
故面积的最小值是

4

3

×(

1

2

)3-(

1

2

)2+

1

3

=

1

4

故选D