Question

12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2-m）-f（m）＞2-2m，则实数m的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用构造法$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}$，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-x²+f（-x）=0
∵$g（{-x}）+g（x）=f（{-x}）-\frac{1}{2}{x^2}+f（x）-\frac{1}{2}{x^2}=0$
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．
f（2-m）-f（m）＞2-2m等价于$f（{2-m}）-\frac{{{{（{2-m}）}^2}}}{2}＞f（m）-\frac{m^2}{2}$，
即g（2-m）＜g（m），∴2-m＜m，解得m＞1
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．