题目内容
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A、4
| ||
| B、12π | ||
C、2
| ||
D、4
|
考点：由三视图求面积、体积
专题：空间位置关系与距离
分析：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图可证球心在平面SAC，AC的垂直平分线上，设出球心，利用勾股定理求出球的半径，代入球的体积公式计算．
解答：
解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，
底面为等腰直角三角形，如图：
∵△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，平面SAC⊥平面ABC，
在平面SAC中，过D作DH⊥AC，
∴外接球的球心在DH上，设球心为O，则OA=OB=OC=OS，
设OD=x，则2+x2=2+（2-x）2=x=1，
外接球的半径R=
，∴外接球的体积V=
π×(
)3=4
π，
故选：A．
底面为等腰直角三角形，如图：
∵△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，平面SAC⊥平面ABC，
在平面SAC中，过D作DH⊥AC，
∴外接球的球心在DH上，设球心为O，则OA=OB=OC=OS，
设OD=x，则2+x2=2+（2-x）2=x=1，
外接球的半径R=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
故选：A．
点评：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，考查了学生的作图与空间想象能力，根据三视图判断几何体的性质是关键．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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| 5 |
| 7 |
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