Question

【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．

求椭圆E的方程；

若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C，D两点，求与为坐标原点的面积之差绝对值的最大值．

已知椭圆E上点处的切线方程为，T为切点若P是直线上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为N，M，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】

由题意可知：，，根据椭圆的性质：，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；由题意设直线方程，，将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理求得，根据三角形的面积公式，分类，当时，，时，根据基本不等式的关系，即可求得的最大值为，设点，切点，，由可知两切线方程PM，PN的方程，同去利用P点在切线PM，PN上，从而直线MN方程为，从而问题解决．

由题意得又，，所以，．

所以椭圆E的方程为．

设的面积为，的面积为．

当直线l斜率不存在时，直线方程为．

据椭圆对称性，得，面积相等，所以．

当直线斜率存在时，设直线方程为，设，

联立方程组，消由得，则．

所以．

又因为，当且仅当或时取“”．

所以的最大值为．

证明：设，，

由已知得切线切线，

把代入得，．

从而直线MN方程为，即．

对，当，时恒成立，恒过定点．