Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ， ， 平面， ， .

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意结合角的关系可得， ，由线面垂直的性质可得，故平面， .

(2)结合(1)的结论可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量为，而是平面的一个法向量，据此计算可得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）证明：因为四边形是等腰梯形， ， .所以.

又，所以，因此， ， ，

平面， ，所以， ，

所以平面；所以.

（2）由（1）知， ，同理，

又平面，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， 轴， 轴建立如图的空间直角坐标系，

不妨设，则， ， ， ，因此， .

设平面的一个法向量为，则， ，∴，

所以，取，则，

由于是平面的一个法向量，

则， ，

所以二面角的余弦值为.