Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x²+y²-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|²+|BP|²的最大值与最小值，并求相应的P点坐标．

Answer 1

分析：设点P的坐标为（x₀，y₀），则有S=4（3x₀ +4y₀-10），设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ，则S=40sin（θ+∅）+60，其中，
tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

．根据-1≤sin（θ+∅）≤1，可得20≤S≤100，当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=

π

2

，
θ=

π

2

-∅，求出点P的坐标；同理求得 S=20时点P的坐标．

解答：解：把已知圆的一般方程化为标准方程得（x-3）²+（y-4）²=4，设点P的坐标为（x₀，y₀），
则S=|AP|2+|BP|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02+1)．…（2分）
∵点P（x₀，y₀）在已知圆上，∴x02+y02-6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．
∵（x-3）²+（y-4）²=4，可设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．
∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

．
∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

，可得 cos∅=

4

5

，sin∅=

3

5

．
当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=

π

2

，θ=

π

2

-∅．
∴sinθ=cos∅=

4

5

，cosθ=sin∅=

3

5

，∴x₀=3+2cosθ=

21

5

，y₀ =4+2sinθ=

28

5

．
当 S=20时，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=

3π

2

，θ=

3π

2

-∅．sinθ=-cos∅=-

4

5

，cosθ=-sin∅=-

3

5

，
∴x₀=3+2cosθ=

9

5

   y₀ =4+2sinθ=

12

5

．
∴S的最大值是100，这时点P的坐标是(

21

5

，

28

5

)，S的最小值是20，这时点P的坐标是（

9

5

，

12

5

）．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，点与圆的位置关系，诱导公式的应用，属于中档题．