Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），点P为圆上（x-1）²+（y-1）²=8任意一点，求|AP|²+|BP|²的最小值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析：将圆的方程化为参数方程，根据参数方程设出P的坐标为（1+2

2

cosθ，1+2

2

sinθ），再由A和B的坐标，利用两点间的距离公式表示出所求的式子，利用完全平方公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得出所求式子的最小值，以及此时θ的度数，即可确定出此时P的坐标．

解答：解：圆（x-1）²+（y-1）²=8的参数方程是

x=1+2 2 cosθ y=1+2 2 sinθ

（θ为参数），
设点P的坐标为（1+2

2

cosθ，1+2

2

sinθ），
∵A（-1，0），B（1，0），
则|AP|²+|BP|²=（2+2

2

cosθ）²+（1+2

2

sinθ）²+（2

2

cosθ）²+（1+2

2

sinθ）²
=22+8

2

cosθ+8

2

sinθ=22+16sin（θ+

π

4

），
所以当sin（θ+

π

4

）=-1时，|AP|²+|BP|²取得最小值为6，
此时可取θ=

5π

4

，则点P的坐标为P（-1，-1）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，圆的参数方程，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．