Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|²+|BP|²取得最小值时P的坐标；
（2）若Q是x轴上的点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，若|MN|=2

3

，求直线QC的方程．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式表示出|AP|²+|BP|²，要使|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|最小即可，由P为圆上的点，得到|OP|的最小值为|OC|-r，求出最小值，由原点O坐标与C坐标，确定出直线OC的方程，与圆方程联立组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出P的坐标；
（2）设Q（x₀，0），由圆的半径及弦MN的长，求出∠MCN的度数，进而确定出∠MCQ的度数，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出|QC|的长，利用两点间的距离公式列出关于x₀的方程，求出方程的解得到x₀的值，确定出Q的坐标，即可确定出直线QC的方程．

解答：解：（1）设P（x，y），由点A（1，0），B（-1，0），
得到|AP|²+|BP|²=（x-1）²+y²+（x+1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
∵P为圆上的点，
∴|OP|_min=|OC|-r=

32+42

-2=5-2=3，
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20，
此时直线OC：y=

4

3

x，
联立得：

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=4

，
解得：

x= 9 5 y= 12 5

或

x= 21 5 ＞3 y= 28 5

（舍去），
∴点P的坐标为(

9

5

，

12

5

)；
（2）设Q（x₀，0），
∵圆C的半径r=2，|MN|=2

3

，
∴∠MCN=

2π

3

，
又△QCN≌△QCM，∠MCQ=

π

3

，∠CMQ=

π

2

，|CM|=2，
∴|QC|=4，即（x₀-3）²+（0-4）²=16，
解得：x₀=3，
则所求直线QC的方程为x=3．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，锐角三角函数定义，以及含30度直角三角形的性质，是一道综合性较强的试题．