Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），点P在圆周（x-3）²+（y-4）²=4上，则使得AP²+BP²取得最小值时点P的坐标是

 

．

Answer 1

分析：根据圆的标准方程，设出点P的坐标，然后利用两点间距离公式，得到AP²+BP²的表达式，利用正弦函数的最值，可求得P点的坐标．

解答：解：∵点P在圆周（x-3）²+（y-4）²=4上，设

x=3+2cost y=4+2sint

t∈R
∵A（-1，0），B（1，0），
∴AP²+BP²=（3+2cost+1）²+（4+2sint）²+（3+2cost-1）²+（4+2sint）²=（4+2cost）²+（3+2sint）²+（2+2cost）²+（4+2sint）²=16+16cost+4cos²t+9+12sint+4sin²t
=29+16cost+12sint=29+20sint（t+φ），其中sinφ=

4

5

，cosφ=

3

5

  
∴当t+φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z时，AP²+BP²取到最小值，此时sint=-sinφ=-

4

5

，cost=-cosφ=-

3

5

此时P点的坐标为（

9

5

，

12

5

）
故答案为：（

9

5

，

12

5

）

点评：本题考查了圆的方程的综合应用，和平面内两点间距离公式，通过三角换元将二元问题转化为一元函数问题，实现了消元的目的．