Question

19．已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是斜率为k的直线上的两点，
求证：|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 由斜率公式得y₁-y₂=k（x₁-x₂），由此利用完全平方式能证明|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．

解答 证明：∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是斜率为k的直线上的两点，
∴$k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∴|P₁P₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[k（{x}_{1}-{x}_{2}）]^{2}}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{1}-{x}_{2}|$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
∴|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．

点评 本题考查两点间距离公式的证明，是基础题，解题时要注意直线斜率公式和完全平方式的合理运用．