Question

4．如图，射线OA，OB与x轴的正方向分别成45°与30°的角，过点P（1，0）的直线与两射线分别交于C，D，若线段CD的中点恰好在直线y=$\frac{1}{2}$x上，求CD所在直线的方程．

Answer 1

分析 由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，分别与射线OA、OB联立，求出C、D点坐标，求出中点坐标，因为CD的中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上，代入求解即可．

解答 解：在直角坐标系中，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，可得射线OA：x-y=0（x≥0），OB：$\sqrt{3}$x+3y=0（x≥0），
由题意直线AB的斜率不为0，因为过点P，故可设为：x=my+1，
分别与射线OA、OB联立，得C（$\frac{1}{1-m}$，$\frac{1}{1-m}$），D（$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）
可知CD的中点坐标为：（$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$+$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$），$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）），
因为AB的中点在直线y=$\frac{1}{2}$x上，所以$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$+$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$），
解得：m=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，所以直线CD的方程为3x-（3-$\sqrt{3}$）y-3=0

点评 本题考查两条直线的交点坐标、中点坐标公式及求直线方程问题，考查运算能力．