Question

8．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（cosx-sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx+sinx，2cosx）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=1，b=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求△ABC的外接圆半径R．

Answer 1

分析 （1）由向量数量积的坐标表示，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由正弦函数的性质，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）f（A）=1，2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，求得A=$\frac{π}{3}$，由三角形的面积公式$S=\frac{1}{2}bcsinA$，求得c=4，由余弦定理求得a的值，由△ABC的外接圆半径R=$\frac{a}{sinA}$可求得R．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（cosx-sinx）•（cosx+sinx）+$\sqrt{3}$sinx•2cosx，
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
f（x）的单调递增区间2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]k∈Z，
x∈[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z，
f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈Z．
（2）f（A）=1，2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
A=$\frac{π}{3}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA$，c=4，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=$\sqrt{5}$，
由△ABC的外接圆半径R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
∴△ABC的外接圆半径R=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查三角恒等变换、三角函数性质及余弦定理，属于中档题．