在平面直角坐标系中.椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点为F.离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．(1)求椭圆C的标准方程,(2)过原点的直线与椭圆C交于A.B两点.点D在椭圆C上.且AD⊥AB.直线BD与x轴.y轴分别交于M.N两点.设直线BD.AM的斜率分别为k1.k2.证明:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在平面直角坐标系中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（$\sqrt{2}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明：存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值．

分析（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设直线AB的方程为：y=kx，A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），D（x₂，y₂）．直线AB的方程与椭圆方程联立解得A，B的坐标，可得直线AD的方程，与椭圆方程联立可得D的坐标，可得直线BD的方程，再利用斜率计算公式即可得出．

解答（1）解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），D（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}，\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$，B$（\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}，\frac{-\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$．
∵AD⊥AB，∴直线AD的方程为：y-$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$=$-\frac{1}{k}$$（x-\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$．
化为y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{k\sqrt{1+3{k}^{2}}}$．
代入椭圆方程可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$[-\frac{1}{k}x+\frac{\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{k\sqrt{1+3{k}^{2}}}]^{2}$=1，
化为：$\sqrt{1+3{k}^{2}}（{k}^{2}+3）{x}^{2}$-$6\sqrt{3}$（1+k²）x+$\frac{3（5{k}^{2}+3）}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$=0．
解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{\sqrt{3}（5{k}^{2}+3）}{（{k}^{2}+3）\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，
y₁=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$．
y₂=$\frac{\sqrt{3}k（{k}^{2}-1）}{（{k}^{2}+3）\sqrt{1+3{k}^{2}}}$．
∴k_BD=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{k}{3}$=k₁．
BD的方程为：y+$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$=$\frac{k}{3}$$（x+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$，
令y=0，解得x_M=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，∴M$（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}，0）$．
∴k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{M}}$=-k．
∴3k₁=-k₂．
∴λ=-$\frac{1}{3}$．