Question

【题目】已知直线： ，圆：

（1）求证：直线与圆总相交；

（2）求出相交的弦长的最小值及相应的值；

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) 相交的弦长的最小值为，相应的.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得直线恒过定点，圆的圆心，半径，而,故点在圆的内部，则直线与圆总相交.

(2)由直线与圆的位置关系可知，满足题意时，弦心距最大，此时，由斜率公式可得，则，解得： ，此时直线被圆截得的弦长为最小值为.

试题解析：

(1) 直线：

化简得：

由，解得

直线过定点

圆： ，

即圆心，半径，

点在圆的内部，故直线与圆有两个交点

直线与圆总相交.

（2）直线被圆截得的弦长为最小时，弦心距最大，此时，

， ， ，

，解得： ，

又，

直线被圆截得的弦长为最小值为，

故相交的弦长的最小值为，相应的.