Question

【题目】已知函数， ． 在上有最大值9，最小值4．

（1）求实数的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】试题分析：（1）函数的对称轴为，又，所以在上单调递增，从而得到关于的方程组，解之即可；

（2）令不等式在上恒成立等价于在上恒成立，转求的最小值即可；

（3）方程有三个不同的实数根等价于关于的方程有两个不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1，借助二次函数零点的分布情况处理即可.

试题解析：

（1）函数的对称轴为，又，所以在上单调递增，

，解得．

（2）， ，

令，则，

不等式可化为，

所以，问题等价于在上恒成立，

因为，则： ，

所以： ．

（3）令，图像如下：

则方程有三个不同的实数根，

等价于关于的方程有两个不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1．

将整理成： ，

若一根等于1，一根大于0且小于1，将代入得，此时， 只有唯一的根，不符要求，

所以，情况为：一根大于1，一根大于0且小于1，

令，则需满足，解得．

综上所述： 为所求．