Question

【题目】已知函数， ．

（1）设 ，若是偶函数，求实数的值；

（2）设，求函数在区间上的值域；

（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析:（1）根据偶函数定义得，再根据对数运算性质解得实数的值；（2）根据对数运算法则得，再求分式函数值域，即得在区间上的值域（3）设，将不等式化为，再分离变量得 且，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）因为是偶函数，

所以，

则恒成立， 所以.

（2）

，

因为，所以，所以，

则，则，

所以，即函数的值域为.

（3）由，得，

设，则，设

若则，由不等式对恒成立，

①当，即时，此时恒成立；

②当，即时，由解得；

所以；

若则，则由不等式对恒成立，

因为，所以 ，只需，解得；

故实数的取值范围是.