Question

19．已知n=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（6cosx-sinx）dx$，则二项式${（x+\frac{2}{\sqrt{x}}）}^{n}$展开式中常数项是（　　）

• A． 第7项
• B． 第8项
• C． 第9项
• D． 第10项

Answer 1

分析 利用微积分基本定理、二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：n=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（6cosx-sinx）dx$=$（6sinx+cosx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=12，
则二项式$（x+\frac{2}{\sqrt{x}}）^{12}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{12}^{r}$${x}^{12-r}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=2^r${∁}_{12}^{r}$${x}^{12-\frac{3r}{2}}$，
令12-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=8．
∴展开式中常数项是2⁸${∁}_{12}^{8}$，为第9项．
故选：C．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．