Question

13．已知函数f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|+a|x-$\frac{3}{2}$|．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≤3x；
（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1-b|的解集为空集，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值为14，可得|1-b|≤7，由此解得b的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，不等式f（x）≤3x 可化为$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{4}}\\{-（2x+\frac{1}{2}）+（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≤x＜\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}+（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$②；或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}-（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$③．
解①求得-$\frac{1}{2}$≤x＜-$\frac{1}{4}$，解求得-$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{3}{2}$，解求得x≥$\frac{3}{2}$．
综上可得，不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1}{2}$}．
（2）当a=2时，f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|+|2x-3|≥|2x+$\frac{1}{2}$-（2x-3）|=$\frac{7}{2}$，（当且仅当-$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{3}{2}$时取等号），
则f（x）的最大值为4•$\frac{7}{2}$=14，不等式4f（x）＜2|1-b|的解集为空集，
等价于|1-b|≤7，解得-6≤b≤8，故实数b的取值范围是[-6，8]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．