Question

8．已知正数x，y满足：x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y：（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用题目条件求出x+y的范围，通过换元法化简表达式，利用恒成立分离变量，通过函数的单调性求解函数的最小值，即可推出a的范围．

解答 解：因为x+y+3=xy≤$\frac{（x+y）^{2}}{4}$，可得（x+y）²-4（x+y）-12≥0，正数x，y；可得x+y∈[6，+∞）．（4分）
令t=x+y，可得：t²-at+1≥0在区间[6，+∞）上恒成立，
即a≤t+$\frac{1}{t}$在区间[6，+∞）上恒成立，（6分）
又f（t）=t+$\frac{1}{t}$在区间[6，+∞）上单调递增，
∴f（t）_min=f（6）=$\frac{37}{6}$，∴a$≤\frac{37}{6}$，
故a的取值范围为（-∞，$\frac{37}{6}$]．

点评 本题考查函数的恒成立条件的应用，考查换元法，分离变量，函数的最值的求法，考查计算能力．