Question

9．f（x）=x³-ax²+a（a＞0）有且只有一个零点，则a的范围为（　　）

• A． $（0，\frac{3}{2}）$
• B． $（0，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的极值，f（x）=x³-ax²+a（a＞0）有且只有一个零点，极小值大于0，列出不等式求解即可．

解答 解：f（x）=x³-ax²+a，（a＞0）可得y′=3x²-2ax，令y′=0，可得x=0，或x=$\frac{2a}{3}$，
x＜0时y′＞0，
x＞$\frac{2a}{3}$时，y′＞0，
0＜x＜$\frac{2a}{3}$时，y′＜0，
∴函数在（-∞，0），（$\frac{2a}{3}$，+∞）单调递增，在（0，$\frac{2a}{3}$）单调递减，
x=0时，函数取的极大值为：a＞0．
∴x=$\frac{2a}{3}$时，函数取得极小值：$-\frac{4{a}^{3}}{27}+a$，f（x）=x³-ax²+a（a＞0）有且只有一个零点，
必有：$-\frac{4{a}^{3}}{27}+a$＞0，解得a∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
故选：B．

点评 本题考查了函数的思想，运用求解零点问题，关键构造函数，利用图象交点问题求解，属于中档题．