Question

【题目】如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1) 以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.

(2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.

解：在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点

所以平面取的中点的中点

所以两两垂直,故以点为坐标原点,

以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．

设底面正方形边长为

因为

所以

所以,

所以,

设平面的法向量是,

因为,,

所以,,

取则,

所以

所以,

所以直线与平面所成角的正弦值为．

设平面的法向量是,

因为,,

所以,

取则

所以,

由知平面的法向量是,

所以

所以,

所以锐二面角的大小为．