Question

【题目】已知函数，其中.

（1）当时，若直线是曲线的切线，求的最大值；

（2）设，函数有两个不同的零点，求的最大整数值.（参考数据）

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】

（1）利用导数的几何意义可得，因此，利用导数研究其单调性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.

（2）根据题意，关于的方程有两个不同的解，设利用导数得到存在使得.则要使得关于的方程有两个不同的解，则，当时，设经验证 有两个不同的零点，即可证明.

解：（1）设直线与曲线相切于点，

，，.

又因为点在切线上，所以.所以

.因此

设，则

令得，；令得，.

在上单调递增，在上单调递减.

的最大值为.则的最大值为.

（2）函数有两个不同的零点,

等价于方程有两个不相等的实根.

设，则等价于方程有两个不同的解，

即关于的方程有两个不同的解，设,

则.设，由可知

在上单调递减，又

存在使得，即，则.

当时，，，函数单调递增；当时

，，函数单调递减.所以函数的极大值为

.

要使得关于的方程有两个不同的解，则.

当时，设，则

可知在上单调递增，在上单调递减，

又 p（1）＝0

所以有两个不同的零点，符合题意，所以的最大整数值为.