Question

f(x)是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f(x)在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f(x)是k型函数．给出下列说法：

①f(x)＝3－不可能是k型函数；

②若函数y＝(a≠0)是1型函数，则n－m的最大值为；

③若函数y＝－x²＋x是3型函数，则m＝－4，n＝0；

④设函数f(x)＝x³＋2x²＋x(x≤0)是k型函数，则k的最小值为.

其中正确的说法为________．(填入所有正确说法的序号)

Answer 1

　②③

[解析]　对于①，注意到函数f(x)＝3－在[2,4]上的值域是[1,2]＝×2，×4，因此函数f(x)＝3－可能是k型函数，故①不正确；对于②，依题意得函数y＝＝－，存在区间[m，n]，

使函数y＝－在[m，n]上的值域恰为[m，n]，注意到函数y＝－在区间[m，n]上是增函数，于是有即a²x²－(a²＋a)x＋1＝0的两个不等的实根，

则m＋n＝，mn＝，

从而n－m

＝的最大值是＝，因此②正确；对于③，依题意得存在区间[m，n]，使得函数y＝－x²＋x在区间[m，n]上的值域是[3m,3n]，注意到y＝－x²＋x＝－(x－1)²＋≤，因此3n≤，n≤，函数y＝－x²＋x在区间[m，n]上是增函数，

于是有

即m，n是方程－x²＋x＝3x的两个实根－4，0，又m<n，因此m＝－4，n＝0，故③正确；对于④，当x≤0时，f′(x)＝3x²＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)，若－<x<0，则f′(x)>0；若－1<x<－，则f′(x)<0，函数f(x)＝x³＋2x²＋x(x≤0)在上是减函数，在上是增函数，且＝－，f(－1)＝f(0)＝0，因此当x∈[－1,0]时，f(x)相应的值域是注意到<，因此④不正确．综上，其中正确的说法为②③.