F1.F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点.点P在双曲线上.满足$\overrightarrow{P{F} {1}}$$•\overrightarrow{P{F} {2}}$=0.若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.则该双曲线的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左右焦点，点P在双曲线上，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的内切圆半径与外接圆半径之比为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$\sqrt{2}$+1

D．

$\sqrt{3}$+1

分析设P为双曲线的右支上一点，由向量垂直的条件，运用勾股定理和双曲线的定义，可得|PF₁|+|PF₂|，|PF₁|•|PF₂|，再由三角形的面积公式，可得内切圆的半径，再由直角三角形的外接圆的半径即为斜边的一半，由条件结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答解：设P为双曲线的右支上一点，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，即为$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，①
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，②
①-②²，可得|PF₁|•|PF₂|=2（c²-a²），
可得|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}$，
由题意可得△PF₁F₂的外接圆的半径为$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，可得
$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|），
解得r=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}$-2c），
即有$\frac{\sqrt{8{c}^{2}-4{a}^{2}}-2c}{2c}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
化简可得8c²-4a²=（4+2$\sqrt{3}$）c²，
即有c²=$\frac{2}{2-\sqrt{3}}$a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故选：D．